Intégrale et relation d'ordre
Proposition :
\(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\), \(a\) et \(b\) deux éléments de \(I\) tels que \(a\leqslant b\)
si \(f\geqslant 0\) sur \(I\), alors : \(\displaystyle \int_{a}^{b} f\left(t\right)\mathrm{d}t\geqslant 0\),
si \(f\leqslant 0\) sur \(I\), alors : \(\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t\leqslant 0\).
Théorème :
\(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues sur un intervalle \(I\), \(a\) et \(b\) deux éléments de \(I\) tels que \(a\leqslant b\).
Si \(f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)\) pour tout \(x\) appartenant à \([a;b]\), alors : \(\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t\leqslant\int_{a}^{b}g\left(t\right)\mathrm{d}t\) .
Proposition : En conséquence :
\(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\), \(a\) et \(b\) deux éléments de \(I\) tels que \(a\leqslant b\), \(m\) et \(M\) sont deux réels.
Si, pour tout \(x\) de \([a;b]\), \(\mathrm{m}\leqslant f\left(x\right)\leqslant \mathrm{M}\), alors \(\displaystyle \mathrm{m}\left(b-a\right)\leqslant\int_{a}^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t\leqslant \mathrm{M}\left(b-a\right)\).
\(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\), \(a\) et \(b\) deux éléments de \(I\) tels que \(a\leqslant b\) et \(M\) un réel positif.
Si, pour tout \(x\) de \([a;b]\), \(|f\left(x\right)|\leqslant \mathrm{M}\), alors \(\left|\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t\right|\leqslant \mathrm{M}\left(b-a\right)\).