Valeur moyenne d'une fonction continue
Définition :
Soit \(f\) une fonction continue sur l'intervalle \( [a;b]\) avec \(a < b\).
On appelle valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\), le réel \(\displaystyle \mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t\).
Pour une fonction \(f\) positive :
L'aire, en unités d'aire du rectangle \(ABCD\), où l'ordonnée de \(A\) et \(B\) est \(\mu\), est égale à l'aire en unités d'aire de la partie grisée.
Exemple : Calculer une valeur moyenne.
En utilisant un calcul d'aire, calculer la valeur moyenne de \(f\) définie sur \([0;3]\) par \(f(x) = 3 - x\).
La fonction \(f\) est continue positive sur \([0;3]\), donc la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur\( [0;3]\) est : \(\displaystyle \mu=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x\).
Soit \(D\) la partie du plan délimitée par la courbe de la fonction \(f:x\mapsto 3-x\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x = 0\) et \(x = 3\).
L'aire \(A\) en unités d'aire de \(D\) est l'aire du domaine délimité par un triangle rectangle soit : \( A = \dfrac12\, \,base \times hauteur = \dfrac12 \times 3 \times 3 = \dfrac92 \).
Donc \(\displaystyle \mu=\dfrac{3}{2}\).
Le nombre réel \(\mu\) représente la hauteur d'un rectangle ( en gris sur la figure) de largeur \((3 - 0)\) dont l'aire est égale à \(\displaystyle \int_{0}^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x\).
