Propriétés

Toutes les propriétés énoncées sur les puissances entières sont encore vraies pour les puissances rationnelles.

  1. Quels que soient les nombres rationnels \(\frac{p}{q}\) et \(\frac{p'}{q'}\), non nuls, et \(a\), un nombre réel positif. On a :

    \(a^{\frac{p}{q}}a^{\frac{p'}{q'}} = \left(a^{p'q+pq'}\right)^{\frac{1}{qq'}} = a ^{\frac{p}{q}+\frac{p'}{q'}}.\)

    Exemple

    On a : \((23)^{\frac{2}{3}} (23)^{\frac{-3}{2}} = (23)^{\frac{-5}{6}}. \)

  2. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs. Pour tout nombre rationnel \(\frac{p}{q},\) on a :

    \(a^{\frac{p}{q}}b^{\frac{p}{q}} = (ab)^{\frac{p}{q}} .\)

    Exemples

    On a : \(\left(3^{\frac{2}{3}}\right)^4 = 3^6 \text { et } (11)^{\frac{4}{3}} (17)^{\frac{4}{3}} = (11 \cdot 17)^{\frac{4}{3}} = (187)^{\frac{4}{3}}.\)