Théorème fondamental du calcul intégral
Théorème :
Soient \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\), \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\) et \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\); On a
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t=F\left(b\right)-F\left(a\right)\).
On note aussi : \(\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t=\displaystyle\Big [F\left(x\right)\Big]_{a}^{b}\).
Exemple :
Soit à calculer \(\displaystyle \int_{-2}^{0}\left(2x^{3}-x+1\right)\mathrm{d}x\)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par : \(f(x) = 2x^3 - x + 1\).
Comme \(f\) est continue sur \(\mathbb R\), elle y admet des primitives. L'une d'entre elles est la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb R\) par \(F\left(x\right)=2\left(\displaystyle \frac{x^{3+1}}{3+1}\right)-\dfrac{x^{2}}{2}+x=\dfrac{x^{4}}{2}-\dfrac{x^{2}}{2}+x\).
\(\displaystyle \int_{-2}^{0}\left(2x^{3}-x+1\right)\mathrm{d}x=[F\left(x\right)]_{-2}^{0}=F\left(0\right)-F\left(-2\right)\)
\(\displaystyle \int_{-2}^{0}\left(2x^{3}-x+1\right)\mathrm{d}x=-4\).