Intégrale et primitive
Théorème :
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(a\) un réel appartenant à \(I\).
La fonction \(F\,:\,x\displaystyle \mapsto\int_{a}^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t\) est la primitive de \(f\) sur \(I\) qui s'annule en \(a\).
Conséquence
Toute fonction continue sur \(I\) admet des primitives sur \(I\).
Exemple :
On considère la fonction \(F\) donnée par
\(F\left(x\right)=\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{1}{t}\mathrm{d}t\), \(I=]0 ;+\infty[\).
Cherchons sa dérivée.
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty [\) par \(f\left(t\right)=\dfrac{1}{t}\). La fonction \(f\) est dérivable donc continue sur \(]0;+\infty [\), de plus \(2\in]0 ;+\infty[\), par conséquent la fonction \(F\) est l'unique primitive sur \(]0;+\infty [\) de la fonction \(f\) s'annulant en \(2\), d'après le théorème précédent.
Par définition des primitives, \(F\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et pour tout \(x\) dans \(I=]0 ;+\infty[\), \( F'\left( x \right) = f\left( x \right) = \frac1x \).