Primitive vérifiant une condition initiale

Définition

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et admettant une primitive sur \(I\).

Soit \(x_0\) un élément de \(I\) et \( y_0\) un réel.

Il existe une et une seule primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) vérifiant la condition initiale \(F( x_0) = y_0\).

Exemple

Cherchons la primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(F( x_0) = y_0\), avec \(f\left(x\right)=x+\displaystyle \frac{1}{x^{2}}\), \(I=]0 ;+\infty[\), \(x_0 = 1\), \(y_0 = 5\).

La fonction \(f\) est continue sur \(I=]0 ;+\infty[\) donc elle y admet des primitives.

Une primitive \(F\) de \(f\) sur \(I=]0 ;+\infty[\) est de la forme : \(F\left(x\right)=\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{x}+C\) où \(C = Cte\).

Or \(F(1) = 5\) donc \(\displaystyle \frac{1^{2}}{2}-\frac{1}{1}+C=5\Longleftrightarrow C=\frac{11}{2}\).

D'où, pour tout \(x\) de \(I=]0 ;+\infty[\), \(F\left(x\right)=\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{x}+\frac{11}{2}\).