Savoir faire : recherche de primitives
Méthode :
Le tableau de dérivation ci dessous permet de trouver les primitives des fonctions pour lesquelles on peut donner l'expression sous la forme d'une dérivée.
\(u\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
Fonctions \(f\) | Intervalles de dérivabilité | Fonctions dérivées |
|---|---|---|
\(u^n\) avec \(n\) entier, \(n\geqslant 2\) | \(I\) | \(nu'u^{n-1}\) |
\(\dfrac{1}{u}\) | \(I\) si \(u\) non nulle sur \(I\) | \(-\dfrac{u'}{u^{2}}\) |
\(\sqrt{u}\) | \(I\) si \(u\) strictement positive sur \(I\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
\(\cos u\) | \(I\) | \(-u'\sin u\) |
\(\sin u\) | \(I\) | \(u'\cos u\) |
Exemple :
Soit à calculer les primitives de la fonction \(f\) donnée par \(f\left(x\right)=\left(3x-1\right)^{4} \) sur \(\mathbb R\). La fonction \( f\) est définie et continue sur \(\mathbb R\) donc elle admet des primitives sur \(\mathbb R\) .
La fonction f est de la forme \(nu' u^{n-1}\), avec \(u(x) = 3x - 1\), \(u'(x) = 3\) et \( n=5\). En effet \(f\left( x \right) = \frac1{15} \left[ 5 \times 3 \left( 3 x - 1 \right) ^ {5-1} \right]\) . Les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\) sont les fonctions \(F\) définies sur \(\mathbb R\) par \(F\left( x \right) = \frac1{15} \left( 3x - 1\right) ^ 5 + k\) où \(k\) est un nombre réel.