Définition
Définition :
Soit \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de la fonction \(f\) sur \(I\) toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que pour tout \(x\) élément de \(I\), \(F'(x) = f(x)\).
Théorème :
Toute fonction continue définie et continue sur un intervalle \(I\), admet une primitive définie sur \(I.\)
Nous reverrons ce résultat plus tard, quand nous ferons le lien entre primitive et intégrale.
Exemple :
Les fonctions \(u\) et \(v\) définies sur \( \mathbb R\) par \(\left\{\begin{array}{l} u\left(x\right)=\cos 2x\\ v\left(x\right)=-2\cos ^{2}x \end{array}\right.\) sont-elles des primitives sur \(\mathbb R\) d'une même fonction ?
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont des fonctions dérivables sur \(\mathbb R\). De plus, pour tout \(x \in \mathbb R\), \(u'(x) = -2\sin 2x = -4\sin x \cos x\) et\( v'(x) = -2(2(-\sin x)(\cos x)) = 4\sin x \cos x\).
Comme pour tout \(x \in \mathbb R\), \( u'(x)\neq{v'(x)}\), les fonctions \(u\) et \(v\) ne sont pas des primitives sur \(\mathbb R\) d'une même fonction.