Exercices d'entraînement sur les limites

Dans les trois cas, on doit déterminer une limite de la forme \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\) avec \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \)et \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} g\left(x\right)=+\infty \).

Il n'y a pas de résultat général permettant de donner les limites de cette forme (forme dite « indéterminée »).

• On peut écrire : \(x-\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\).

  On a \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt x= +\infty \) et \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x}-1\right)=+\infty\), donc \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} x-\sqrt{x}=+{\infty} \).

• \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty } x-x^{2}= \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty }-x^{2}=-\infty \) (règle opératoire).

• On peut écrire :

  \(x-\sqrt{x^{2}+1} =\displaystyle \frac{\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}=\frac{x^{2}-\left(x^{2}+1\right)}{x+\sqrt{x^{2}+1}}= \frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\).

  \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \left(x+ \sqrt{x^{2}+1}\right)=+{\infty}\),

  donc \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{-1}{{x}+ \sqrt{x^{2}+1}}=0\),

  donc \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} x-\sqrt{x^{2}+1}=0 \).

On trouve dans chacun des cas un résultat différent, il n'est donc pas possible de donner un résultat général pour ce type de limite (forme «\(+\infty-\infty\)»).