Trouver la limite d'un quotient
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb R\), dont les tableaux de variations sont donnés ci-dessous.
Question
Déterminer, si c'est possible,
\(\displaystyle \lim_{-\infty} \frac1f\)
Le résultat final
\(\displaystyle \lim_{-\infty} \dfrac1f = 0\)
Solution détaillée
\(\displaystyle \lim_{-\infty} f=+{\infty} \) , donc \(\displaystyle \lim_{-\infty} \dfrac1f = 0\).
Question
Déterminer, si c'est possible,
\( \displaystyle \lim_1 \dfrac1f \)
Le résultat final
\(\displaystyle \lim_{1}\dfrac{1}{f}=+\infty\)
Solution détaillée
\(\displaystyle \lim_{1}f=0\), de plus d'après le tableau de variations \(f\left(x\right)>0\) pour tout \(x\neq 1\), donc \(\frac{1}{f}\) est définie pour tout \(x\neq 1\) et \(\displaystyle \lim_{1}\dfrac{1}{f}=+\infty\).
Question
Déterminer, si c'est possible,
\(\displaystyle \lim_{0}\dfrac{1}{g}\)
Le résultat final
\(\displaystyle \lim_0\dfrac1g=-\dfrac{1}{2}\)
Solution détaillée
\(\displaystyle \lim_{0}g=-2\), donc \(\displaystyle \lim_{0}\dfrac{1}{g}=\frac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}\).
Question
Déterminer, si c'est possible,
\(\displaystyle \lim_{-\infty}\dfrac 1{g}\)
Le résultat final
\( \displaystyle \lim_{-\infty } \dfrac1g = -\infty\)
Solution détaillée
\(\displaystyle \lim_{-\infty} g = 0\), de plus d'après le tableau de variations \(g\) est strictement négative sur l'intervalle \(]-\infty ;\,0[\), donc \( \displaystyle \lim_{-\infty } \dfrac1g = -\infty\).
Question
Déterminer, si c'est possible,
\(\displaystyle \lim_{-\infty} \dfrac{f}{g}\)
Le résultat final
\(\displaystyle \lim_{- \infty} \dfrac{f}g = -\infty\)
Solution détaillée
\(\displaystyle \lim_{-\infty} f=+{\infty} \) et \(\displaystyle \lim_{-\infty} g = 0\), de plus d'après le tableau de variations \(g\) est strictement négative sur l'intervalle \(]\infty ;0[\)], donc \(\displaystyle \lim_{- \infty} \dfrac{f}g = -\infty\).
On peut aussi écrire \(\dfrac{f}{g} = f \times \dfrac1g \) avec \(\displaystyle \lim_{-\infty} f=+{\infty} \) et \( \displaystyle \lim_{-\infty } \dfrac1g = -\infty\).
Question
Déterminer, si c'est possible,
\(\displaystyle \lim_1 \dfrac{f}g \)
Le résultat final
\( \displaystyle \lim_1 \dfrac{f}g = 0 \)
Solution détaillée
\(\displaystyle \lim_{1}f=0\) et \(\displaystyle \lim_{1}g=3\), donc \(\displaystyle \lim_{1}\dfrac{f}{g}=\dfrac{0}{3}=0\).
Question
Déterminer, si c'est possible,
\(\displaystyle \lim_{-\infty} = \dfrac{f}g\)
Le résultat final
On ne peut pas conclure sur
\(\displaystyle \lim_{-\infty} \dfrac{f}g\)
Solution détaillée
\(\displaystyle \lim_{+\infty} f=+{\infty} \) et \(\displaystyle \lim_{+\infty}g=-\infty\), les propriétés ne permettent pas de conclure directement en ce qui concerne la limite de \(\dfrac{f}{g}\) en \(+\infty\).
Question
Déterminer, si c'est possible, :
\(\displaystyle \lim_{1}\dfrac{g}{f}\)
Le résultat final
\(\displaystyle \lim_{1}\dfrac{g}{f}=+\infty\)
Solution détaillée
\(\displaystyle \lim_{1}g=3\) et \(\displaystyle \lim_{1}f=0\), de plus d'après le tableau de variations \(f\left(x\right)>0\) pour tout \(x\neq 1\), donc \(\displaystyle \dfrac{g}{f}\) est définie pour tout \(x\neq 1\) et \(\displaystyle \lim_{1}\dfrac{g}{f}=+\infty\).