Exercices d'entraînement sur les limites

On a \(\displaystyle \lim_{ x\rightarrow+\infty} x^{2}=+\infty \) et \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac1x = 0 \) donc \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)=+\infty\).

L'inégalité \(f\left(x\right)\geqslant x^{2} - \dfrac1x \) étant vérifiée pour \(x\in]0;+\infty[\), on peut en déduire que : \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \).

On a \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left(x^{4}+x^{2}\right)=0\).

L'inégalité \(f\left(x\right)\leqslant x^{4}+x^{2}\), vérifiée pour \(x\in]-1;1[\), n'est pas suffisante pour conclure quant à l'existence d'une limite en 0 pour la fonction f.

On peut dire cependant que si la fonction \(f\) a une limite en 0, alors cette limite est inférieure ou égale à 0.

L'inégalité\(f\left(x\right)\leqslant 2x\) ne permet pas de donner de résultat quant à la limite éventuelle de la fonction \(f\) en \(-\infty\), puisque cette inégalité est vérifiée pour \(x\in]-1;0[\) et non au voisinage de \(-\infty\).

On a \(\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1 \\ x>1}}\left(x-1\right)=0 \) avec \(x-1>0\), donc \(\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1 \\ x>1}} \frac1{x - 1 } = +\infty \) et \(\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1 \\ x>1}}\left(1+\frac{1}{x-1}\right)=+\infty\).

L'inégalité \(f\left(x\right)\displaystyle \geqslant 1+\frac{1}{x-1}\) étant vérifiée pour \(x\in]1;+\infty[\), on peut en déduire que : \(\displaystyle \lim_{\substack{x\rightarrow 1 \\ x>1}} f\left(x\right)=+{\infty}\).

L'inégalité\( |f\left(x\right)+2|\leqslant g\left(x\right)\) vérifiée pour \(x\in]100;+\infty[\), permet de justifier que : \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}|f\left(x\right)+2|=0\), puisque \(\displaystyle \lim_{ x\rightarrow+\infty} g\left(x\right)=0 \).

On peut alors en déduire que \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} f\left(x\right)=-2 \).