Utiliser le théorème des « gendarmes »
Partie
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0 ;+\infty[\) par : \( f\left( x \right) = \dfrac{\cos x }x \).
Question
Démontrer que f a une limite en \(+\infty\) et déterminer cette limite.
Solution détaillée
On sait que pour tout réel \(x\) : \(-1\leqslant\cos x\leqslant 1\).
On peut en déduire que pour tout réel \(x\) strictement positif : \(\dfrac{-1}{x}\leqslant\dfrac{\cos x}{x}\leqslant\dfrac{1}{x}\).
On a \( \displaystyle \lim_{x \to + \infty }\dfrac{-1}x = 0 \) et \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac1x = 0 \).
Le théorème des gendarmes permet alors de conclure que \(f\) a une limite en \(+\infty\) et que cette limite est \(0\).