Définition
Définition :
Une fonction est un procédé qui, à chaque élément d'un certain ensemble de nombres, associe un nombre déterminé.
Exemple :
On se donne un carré, dont la longueur d'un côté est notée \(c\). On appelle fonction « périmètre » la fonction qui associe au nombre \(c\) le nombre \(4c\), mesure du périmètre du carré.
On se donne un carré, dont la longueur d'un côté est notée \(c\). On appelle fonction « aire » la fonction qui associe au nombre \(c\) le nombre \(c^2\), mesure de l'aire du carré.
La fonction de Dirichlet associe la valeur \(1\) à un nombre rationnel, et la valeur \(0\) à un nombre réel irrationnel.
Quand on associe à chaque nombre réel \(x\) la valeur\( x^2-5x+1\), on définit une fonction.
Une autre fonction est celle qui, à un nombre réel \(x\) non nul, associe son inverse \(\frac{1}{x}\).
Notations
La notation fonctionnelle consiste à symboliser une fonction par une lettre, telle que \(f\),\(g\),\(h\)..., éventuellement munie d'un indice comme pour \(f_1\),\(f_2\),...
Exemple : Exemples de notation fonctionnelles
La fonction périmètre d'un carré est la fonction p telle que \(p(c)=4c\)
La fonction aire d'un carré est la fonction A telle que \(A(c)=c^2\)
La fonction de Dirichlet est la fonction f telle que \(f(x)= \Bigg\{ \begin{array}{cc} 1 &\text{si }x\in\mathbb{Q} \\ 0 &\text{sinon}\end{array}\)
L'écriture \(f(x)=x^2-5x+1\) définit la fonction \(f\) comme étant celle qui associe à un quelconque nombre \(t\) la valeur \(t^2-5t+1\). Par exemple \(f(0)=1\).
L'écriture \(h(x)=\frac{1}{x}\) définit la fonction \(h\) comme étant celle qui associe son inverse à un quelconque nombre réel non nul.
L'écriture \(v(x)=\left|x\right|=\Bigg\{\begin{array}{cc} -x&\text{si }x <0 \\ x & \text{sinon} \end{array}\) définit la fonction \(v\) comme étant celle qui associe sa valeur absolue à un quelconque nombre réel non nul. La valeur absolue de \(x\) correspond à la "distance" à zéro du nombre réel \(x\) sur la droite réelle.
On note \(f(x)\) le nombre que la fonction \(f\) associe au nombre \(x\). On dit que \(f(x)\) est l'image de \(x\) par la fonction \(f\), ou encore que \(f(x)\) est la valeur de \(f\) en \(x\). Lorsque \(y=f(x)\), on dit aussi que \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\).
Exemple : Exemple d'images et d'antécédents
Pour la fonction périmètre d'un carré \(p\) telle que \(p(c) = 4c\), l'image de \(c\) est \(4c\). L'image de \(8\) vaut \(32\), par exemple. L'antécédent de \(32\) est \(8\). Pour déterminer les antécédents \(c\) d'un nombre \(a\), on résout l'équation \(4c = a\). Si on cherche les antécédents de \(12\) on résout \(4c = 12\), et donc \(c = 3\). Le nombre \(3\) est l'antécédent du nombre \(12\).
Pour la fonction aire d'un carré \(A\) telle que \(A(c)=c^2\), l'image de \(7\) est \(49\) ; on a \((7)^2=-(7)^2=49\), mais \(c\geq0\) et donc \(-7\) ne convient pas comme antécédent de \(49\).