Variations des fonctions
Soit \(f\) une fonction et \(I\) un intervalle contenu dans le domaine de définition de \(f\).
On dit que la fonction \(f\) est croissante sur \(I\) lorsque, pour tout couple \((x, y)\) d'éléments de \(I\), on a l'implication
\begin{equation}x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\end{equation}
On dit que la fonction \(f\) est décroissante sur \(I\) lorsque, pour tout couple \((x, y)\) d'éléments de I, on a l'implication
\begin{equation}x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)\end{equation}
On dit que la fonction \(f\) est monotone lorsqu'elle est soit croissante sur \(I\), soit décroissante sur \(I\).
On dit que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(I\) lorsque, pour tout couple \((x, y)\) d'éléments de I, on a l'implication
\begin{equation}x < y\Rightarrow f(x) <f(y)\end{equation}
On dit que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) lorsque, pour tout couple \((x, y)\) d'éléments de I, on a l'implication
\begin{equation}x <y\Rightarrow f(x) >f(y)\end{equation}
On dit que la fonction \(f\) est strictement monotone sur \(I\) lorsqu'elle est soit strictement croissante sur \(I\), soit strictement décroissante sur \(I\).
On dit que la fonction \(f\) est constante sur \(I\) lorsque, pour tout couple \((x, y)\) d'éléments de I, on a l'égalité
\begin{equation}f (x) = f (y) \end{equation}
Exemple :
La fonction puissance \(f_2\) telle que \(f_2(x)=x^2\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty,0]\). En effet, on a, pour \(x\) et \(y\) 2 nombres réels, \begin{equation}x^2-y^2=(x-y)(x+y)\end{equation} et si \(x >0\) et \(y >0\) alors \(x+y >0\) et si \(x <0\) et \(y< 0\) alors \(x+y <0\).
On en déduit que \(x^2-y^2\) est du signe de \(x-y\) sur \(\mathbb{R}\) et du signe de \(y-x)\) sur \(\mathbb{R^-}\)
La fonction puissance \(f_3\) telle que \(f_3(x)=x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). En effet, on a \begin{equation}x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2\end{equation} .
Les expressions \(x^3-y^3\) et \(x-y\) sont de même signe car \(x^2+y^2 > 0\) pour tout \((x ,y)\in\mathbb{R^2}\). En effet \(x^2+y^2+xy=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2\), qui est la somme de deux nombres réels positifs.
Une fonction constante sur un intervalle \(I\) est à la fois croissante et décroissante sur \(I\). Réciproquement, une fonction qui est à la fois croissante et décroissante sur \(I\) est constante sur \(I\).