Fonctions périodiques
Étant donné une fonction \(f\) de domaine de définition \(D \subset \mathbb{R}\), et un nombre réel non nul \(T\), on dit que \(T\) est une période de \(f\) lorsque les deux conditions suivantes sont réalisées.
Pour tout \(x\in D\), le nombre réel \(x+T\) est aussi élément de \(D\).
Pour tout \(x\in D\), on a \(f(x+T)=f(x)\)
On dit qu'une fonction \(f\) est périodique lorsqu'il existe un nombre réel non nul \(T\) qui est période de \(F\).
Exemple : Exemples de fonctions périodiques
Le nombre \(2\pi\) est période des fonctions cosinus et sinus.
Une fonction constante de domaine de définition \(\mathbb{R}\) admet n'importe quel nombre réel non nul comme période : elle est donc périodique.
La fonction partie entière est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui à tout nombre réel \(x\) associe le plus grand entier \(k =\lfloor x \rfloor \in\mathbb{Z}\) tel que \(k = x\).
La fonction partie fractionnaire \(f_r\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui à tout nombre réel \(x\) associe la différence \(f_r(x) = x-\lfloor x \rfloor\). Pour tout nombre réel \(x\), on a l'identité \(\lfloor x+1\rfloor=\lfloor x \rfloor + 1\) et donc \(f_r(x+1)=x+1-\lfloor x+1\rfloor = x+1 - \lfloor x \rfloor - 1 = x - \lfloor x \rfloor\). La fonction partie fractionnaire es donc périodique de période 1.
Définition :
Si \(T\) et \(T'\) sont deux périodes de la même fonction \(f\) , et si \( T + T'\neq 0\), alors leur somme \(T + T'\) est encore une période de \(f\) . En particulier si \(T\) est une période d'une fonction \(f\) , alors \(2T\), \(3T\), \(4T\), \(. ..\) ,\(nT\) \((n \in \mathbb{N*})\) sont aussi des périodes de \(f\) .
Si T est une période d'une fonction \(f\) dont le domaine de définition \(D\) est symétrique par rapport à \(0\) (c'est-à-dire tel que \(x\in D\) entraîne \(-x\in D\)), alors \(-T\) est aussi une période de la fonction \(f\) .