Opérations sur les fonctions

Étant donné deux fonctions \(f\) et \(g\) ayant même domaine de définition \(D\), on peut définir :

  • leur somme \(f + g\) est la fonction définie sur D en posant

\begin{array}{c{ }cc} & \forall x \in D, & ( f + g)(x) = f (x) + g(x) ; \end{array}

leur différence \(f - g\) est la fonction définie sur \(D\) en posant

\begin{array}{c{ }cc} & \forall x \in D, & ( f - g)(x) = f (x) - g(x) ; \end{array}

  • leur produit \(fg\), aussi noté \(f \cdot g\) ou \(f \times g\), est la fonction définie sur \(D\) en posant

\begin{array}{c{ }cc} & \forall x \in D, & (fg)(x)=f(x)g(x) .\end{array}

Si on a de plus la condition \(g(x) \neq 0\) pour tout \(x \in D\), on peut définir :

  • leur quotient f /g, aussi noté \(\cfrac{f}{g}\), est la fonction définie sur \(D\) en posant

\begin{array}{c{ }cc} & \forall x \in D, & \left( \cfrac{f}{g}\right) (x) = f(x) / g(x) = \cfrac{f(x)}{g(x)} .\end{array}

Par ailleurs, soit deux fonctions \(f\) et \(g\) de domaines de définition respectifs \(D\) et \(E\), et telles que \(f (x)\) est élément de \(E\) pour tout \(x\in D\). On peut alors définir la fonction composée de \(f\) suivie par \(g\), notée \(g \circ f\) , en posant

\begin{equation} \forall x \in D, (g \circ f )(x) = g( f (x)) . \end{equation}

Le domaine de définition de la fonction \(g \circ f\) est le même que le domaine de définition \(D\) de \(f\) .

Remarque

Attention à la notation : dans l'écriture \(g \circ f\) de la fonction composée de \(f\) suivie par \(g\), malgré son nom, la lettre \(g\) vient avant la lettre \(f\) . Ceci se justifie par le fait que l'image de \(x\) est \(g( f (x))\), où \(g\) s'écrit avant \(f\) . On peut donc considérer cette apparente incohérence comme une conséquence incontournable de la convention de la notation fonctionnelle.

Exemple

Soit \(g(x)= \sqrt{x}\) de sorte que le domaine de définition de la fonction \(g\) est\( E = [0,+\infty[\). On pose \(f (x) = x^2\), de domaine de définition \(D = \mathbb{R}\). Comme \(f (x) \geq 0\) pour tout\( x \in R\), la condition que\( x \in D\) entraîne que \(f(x)=x^2\) est réalisée, on peut considérer la fonction \(g \circ f\) . C'est la fonction

\begin{equation}\begin{array}{c{ }c}\forall x \in \mathbb{R}, & (g \circ f)(x)=\sqrt{x^2}=|x| \end{array}\end{equation}