Exercice 6 : démontrer
Question
Démontrer que pour tout \( x \in \mathbb{R^{+}_{*} }\) et pour tout \( y \in \mathbb{R^{+}_{*} } \), on a
\(\cfrac{( \sqrt{x} − \sqrt{y})^2 − ( \sqrt{x} +\sqrt{y})^2}{4 \sqrt{xy}} = -1\).
Solution
On a \(\cfrac{( \sqrt{x} − \sqrt{y})^2 − ( \sqrt{x} +\sqrt{y})^2}{4 \sqrt{xy}} = \cfrac{(x + y − 2 \sqrt{xy}) − (x + y + 2\sqrt{xy}) }{4 \sqrt{xy}} = \cfrac{−4 \sqrt{xy}}{4 \sqrt{xy}} = -1\).