Exercice 4 : factoriser

Question

Soit \(x \in \mathbb{R}\). Factoriser \(E = x^4 + 3x^2\).

Solution

On a \(E = x ^2 (x^2 + 3)\).

Question

Soit \(x \in \mathbb{R}\). En posant \(X = x^2\) factoriser \(F = x^4 − 4x^2 + 4\).

Solution

On a \(F = X^2 − 4X + 4 = (X − 2)^2 = (x^2 − 2)^2 = ((x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}))^2 = (x + \sqrt{2})^2 (x - \sqrt{2})^2.\)

Question

Soit \(x \in \mathbb{R}\). Soit \(E = x^3 − 5x^2 − x + 5\). En remarquant que \(E = 0\) pour \(x = 5\), factoriser \(E\).

Solution

On peut donc écrire

\(E = (x − 5)(x^2 + ax + b)\)

avec \(a\) et \(b\) deux nombres réels.

Pour trouver les valeurs de \(a\) et \(b\) on procède par identification.

On écrit les égalités :

\(x^3 − 5x^2 − x + 5 = x^3 + ax^2 + bx − 5x^2 − 5ax − 5b = x^3 + (a − 5)x^2 + (b − 5a)x − 5b.\)

On en déduit que \( a − 5 = −5\), \(b − 5a = −1\) et \(−5b = 5.\)

Et donc que \(b = −1\) et \( a = 0\), c'est-à-dire que \(E = (x − 5)(x^2 − 1) = (x − 5)(x + 1)(x − 1).\)

Question

Soit \(x \in \mathbb{R}\). Factoriser \(x^2 − 10x + 25 + (x − 5)\)

Solution

On a \( x^2 − 10x + 25 + (x − 5) = (x − 5)^2 + (x − 5) = (x − 5)(x − 5 + 1) = (x − 5)(x − 4).\)