**** Exercice 8

Question

Soit \( n \in \mathbb{N}\), démontrer que le nombre \(3n − 1\) n'est pas le carré d'un nombre entier naturel.

Solution

Si \(3n − 1\) était un carré il existerait \(p \in \mathbb{N} \) tel que \( 3n − 1 = p^2\) ou encore \(3n = p^2 + 1\) et donc il existerait un entier \(p\) tel que \(p^2 + 1\) est un multiple de 3.

Mais alors les nombres \(p^2 \text { et } p^2 − 1\) ne seraient pas multiples de 3.

Par ailleurs, on a \(p^2 − 1 = (p − 1)(p + 1)\).

On utilise le fait que si l'on considère trois nombres consécutifs dans \(\mathbb{N}\) l'un d'eux est forcement un multiple de trois.

Le produit \( (p−1)(p+ 1)\) ne serait pas un multiple de 3 et donc, sur les trois nombres consécutifs \(p−1\), \( p\) et \( p + 1\), \(p\) serait le multiple de 3 et donc \(p^ 2\) aussi. Mais comme \( p^2 = 3n − 1\), on aboutit à une contradiction.

Question

Soit \( a \in \mathbb{N} \) et \(x \in \mathbb{N} \) ; démontrer que les nombres \(a^x + a\) et \(a^x − a\) sont toujours pairs.

Solution

Si \(a\) est pair alors \(a^x\) aussi et comme la somme et la différence de deux nombres pairs sont pairs on a le résultat attendu ;

Si \(a\) est impair alors \(a^x\) aussi et comme la somme et la différence de deux nombres impairs sont pairs on a aussi le résultat attendu.

Question

Soit \( a \in \mathbb{R^*}\) , \(n \in \mathbb{N^*} \) ; a-t-on  \(a^n + a^n + a^p = a^{2n}\) ? Justifier.

Solution

En fait ici \(a^n + a^n = 2a^n\) et non \( a^{2n}\) . Si on prend \(a = 3\) et \( n = 2\) par exemple, on a \(3^2 + 3^2 = 18\) et \( 3^4 = 81\).