Exercice 5

Question

Calculer la somme des chiffres du nombre \( P\) avec \(P = 5^{2015} × 2 ^{2018}\) .

Solution

\(P = 5^{2015} × 2 ^{2015+3} = 5^{2015} × 2 ^{1025} × 2 ^3 == (5 × 2)^{2015} × 2^ 3 = 8 × 10^{2015}\) et donc la somme des chiffres de \(P\) est égale à \(8\).

Question

Calculer le nombre de \(0\) consécutifs dans \(35! \) \(( 35! = 35 × 34 × 33 × · · · 2)\)

Solution

Dans le produit \(35!\) il y a \(32\) fois exactement le facteur \(2\) et \(8\) fois le facteur \(5\). Or, pour calculer le nombre de \(0\) demandé il s'agit de compter le nombre d'apparition du facteur \(10\). Sachant que \(2 × 5 = 10\), il y a autant de fois le facteur \(10\) que le facteur \(5\). Comme on retrouve donc \(8\) fois le facteur \(5\), le nombre \(35!\) contient \(8\) zéros consécutifs \((35! = 10333147966386144929666651337523200000000)\)

Question

Soit \(a \in \mathbb{R^+} \) et soit \(x, y, z\) trois nombres rationnels. Écrire sous la forme  \(a ^α\), avec \(α\) un nombre rationnel, le nombre \((a^ x )^{ y−z} × (a^ y )^{ z−x} × (a^ z ) ^{x−y}\).

Solution

\((a^ x )^{ y−z} × (a^ y )^{ z−x} × (a^ z ) ^{x−y}= a ^{x(y−z)+y(z−x)+z(x−y)} .\)

Par ailleurs \( x(y − z) + y(z − x) + z(x − y) = xy − xz + yz − yx + zx − zy = 0\) et donc \( α = 0\).

Question

Soient \(a, b, c\) trois nombres réels strictement positifs et \(x, y, z\) trois nombres rationnels tels que \(a = b^x , b = c^y\) et \(c = a^z\) . Démontrer que \(xyz = 1\).

Solution

On a : \(a = b^x = (c^y ) ^x = ((a^z )^y )^x = a ^{zyx}\) et donc \( xyz = 1\).