**** Exercice 7
Soient \(a\) et \( b\) deux nombres réels. On suppose que \(a\) et \(b\) sont non nuls et \(a ^2 \ne b^2 .\)
Question
Simplifier l'expression suivante :
\(E=\dfrac{\dfrac{\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}-\dfrac{a}{b}}+\dfrac{\dfrac{a}{b}-\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}}}{\dfrac{\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}-\dfrac{a}{b}}-\dfrac{\dfrac{a}{b}-\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}}}\)
Solution
Tout d'abord \(\cfrac{a}{b} + \cfrac{b}{a} = \cfrac {a^2 + b^2}{ab},\) \(\cfrac{a}{b} - \cfrac{b}{a} = \cfrac {a^2 - b^2}{ab}.\) et donc :
\(\cfrac{\cfrac{a}{b} + \cfrac{b}{a}} {\cfrac{a}{b} - \cfrac{b}{a}} = \cfrac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}\) et \(\cfrac{\cfrac{a}{b} - \cfrac{b}{a}} {\cfrac{a}{b} + \cfrac{b}{a}} = \cfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}.\)
Donc le numérateur de la fraction proposée est
\(\cfrac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} + \cfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \cfrac{(a^2 + b^2)^2 + (a^2 - b^2) ^2} {a^4 - b^4}.\)
Son dénominateur est :
\(\cfrac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \cfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \cfrac{(a^2 + b^2)^2 - (a^2 - b^2) ^2} {a^4 - b^4}.\)
et finalement on trouve :
\(\cfrac{(a^2 + b^2)^2 + (a^2 - b^2) ^2} {(a^2 + b^2)^2 - (a^2 - b^2) ^2} = \cfrac{2(a^4 + b^4)}{4a^2b^2} = \cfrac{a^4 + b^4} {2a^2b^2}\)
Question
A quelles conditions sur \(a\) et \(b\) l'expression \(F\) suivante a-t-elle un sens ? La simplifier.
\(F= \cfrac{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b} } {\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}.\)
Solution
On a
\(F= \cfrac{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b} } {\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}\)
Pour \( a + b ≥ 0\) et \(a − b ≥ 0\), on peut calculer l'expression \(\sqrt{a + b} − \sqrt{a - b}\). Autrement dit pour \(a ≥| b |.\) Il faut aussi que \(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \ne 0\). Or \(\sqrt{a + b} = − \sqrt{a - b}\) seulement si \(a = b = 0\). Finalement l'expression \(F\) existe si \(a ≥| bmid > 0.\) Dans ce cas, on a
\(F= \cfrac{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b} } {\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}} = \cfrac{(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b})^2 } {(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b})} = \cfrac{a + b - 2\sqrt{a^2-b^2} + a -b} {a + b - (a - b)}\)
\(F= \cfrac{2 ( a - \sqrt{a^2 - b^2})} {2b} = \cfrac{a - \sqrt{a^2 - b^2}}{b}\)