Exercice
Question
Montrer que pour tout réel \(t\) de \([0;1]\) : \( \dfrac{t^2}2 \leqslant \dfrac{t ^ 2}{1+t} \leqslant t ^ 2 \).
Solution détaillée
\(0\leqslant t\leqslant 1\) donc \(1\leqslant 1+t\leqslant 2\) et \(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant\dfrac{1}{1+t}\leqslant 1\).
Comme \(t^{2}\geqslant 0\), \( \dfrac{t^2}2 \leqslant \dfrac{t ^ 2}{1+t} \leqslant t ^ 2 \).
Question
En déduire un encadrement de l'intégrale \(I=\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{t^{2}}{1+t}\mathrm{d}t\).
Solution détaillée
En intégrant sur \([0;1]\), \(\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{t^{2}}{2}\mathrm{d}t\leqslant\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{t^{2}}{1+t}\mathrm{d}t\leqslant\displaystyle \int_{0}^{1}t^{2}\mathrm{d}t\).
Donc \(\left[\displaystyle \dfrac{1}{2}\times\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}\leqslant\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{t^{2}}{1+t}\mathrm{d}t\leqslant\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}\) et \(\displaystyle \frac{1}{6}\leqslant I\leqslant\frac{1}{3}\).