Calcul de primitives
I) Trouver la primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(F( x_0) = y_0\).
Question
\(f(x)=-2{\rm sin}\,(2x)\), \(I=\mathbb{R}\) , \(x_{0}=\displaystyle \frac{\pi}{4}\), \(y_0 = 1\).
Solution détaillée
La fonction \(f\) est continue sur \(I=\mathbb{R}\) donc elle y admet des primitives.
Une primitive \(F\) de \(f\) sur \(I=\mathbb{R}\) est de la forme : \(F(x) = {\rm cos}\, 2x + C\) où \(C = Cte\).
Or \(F\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\right)=1\) donc \(\cos \left(2\times\frac\pi4\right) +C=1\Longleftrightarrow C=1\).
D'où, pour tout \(x\) de \(I=\mathbb{R}\), \(F(x) = {\rm cos}\,2x + 1\).
Question
\(f\left(x\right)=\displaystyle \frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\), \(I=]0 ;+\infty[\), \(x_0 = 1\), \(y_0 = 0\).
Solution détaillée
On a \(f\left(x\right)=\displaystyle \frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=3+\frac{1}{\sqrt{x}}\), \(I=]0 ;+\infty[\), \(x_0 = 1\), \(y_0 = 0\)
La fonction \(f\) est continue sur \(I=]0 ;+\infty[\)donc elle y admet des primitives..
Une primitive \(F\) de \(f\) sur \(I=]0 ;+\infty[\) est de la forme : \(F\left(x\right)=3x+2\sqrt{x}+C\)où \( C = Cte\).
Or \(F(1) = 0\) donc \(3+2\sqrt{1}+C=0\Longleftrightarrow C=-5\).
D'où, pour tout \(x\) de \(I=]0 ;+\infty[\), \(F\left(x\right)=3x+2\sqrt{x}-5\).
II) Trouver les primitives des fonctions \( f\) suivantes sur l'intervalle \(I\) indiqué.
Question
\(f\left(x\right)=\displaystyle \dfrac{x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\), \(I=]-1;1[\).
Solution détaillée
On a :
\(f\left(x\right)=\displaystyle \dfrac{x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\).
La fonction \(f\) est définie et continue sur \(]-1;1[\), donc \(f\) admet des primitives sur \(]-1;1[\).
De plus la fonction \(f\) est de la forme \(-\dfrac{u'}{u^{2}}\) avec \(u(x) = x^2 - 1\) et \( u'(x) = 2x\).
En effet \(f\left(x\right)=-\displaystyle \frac{1}{2}\times\left[-\dfrac{2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}\right]\).
Les primitives de \(f\) sur \(]-1;1[\) sont les fonctions \(F\) définies sur \(]-1;1[\) par \(F\left(x\right)=-\dfrac12\times\dfrac1{x^{2}-1}+k\) où \(k\) est un nombre réel.
Question
\( f \left( x \right) = \dfrac1 { 3 \sqrt{1 - x } } \), \(I=]-\infty;1[\).
Solution détaillée
On a \( f \left( x \right) = \dfrac1 { 3 \sqrt{1 - x } } \).
La fonction \(f\) est définie et continue sur \(]-\infty;1[\) donc \(f\) admet des primitives sur \(]-\infty;1[\).
Elle est de la forme \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) avec \(u\left(x\right)=1-x\) et \(u'\left(x\right)=-1\).
En effet \(f\left(x\right)=\displaystyle \dfrac{-2}{3}\times\left[\dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}\right]\).
La fonction \(u\) est strictement positive sur \(]-\infty;1[\), donc les primitives de \(f\) sur \(]-\infty;1[\) sont les fonctions \(F\) définies sur \(]-\infty;1[\) par \( F \left( x \right) = - \dfrac23 \sqrt{1 - x } + k \) où \(k\) est un nombre réel.
Question
\( f \left( x \right) = \dfrac3{(2-x)^2} \), \(I=]2;+\infty[\).
Solution détaillée
On a
\( f \left( x \right) = \dfrac3{(2-x)^2} \)
La fonction \(f\) est définie et continue sur \(]2;+\infty[\) donc \(f\) admet des primitives sur \(]2;+\infty[\).
La fonction \(f\) est de la forme \(\dfrac{-u'}{u^2}\) avec \(u\left(x\right)=2-x\) et \(u'\left(x\right)=-1\).
En effet \(f\left(x\right)=3\displaystyle \times\left[\dfrac{1}{(2-x)^2}\right]\).
Les primitives de \(f\) sur\( ]2;+\infty[\) sont les fonctions \(F\) définies sur \(]2;+\infty[\) par \(F\left(x\right)=\dfrac{3}{2-x} +k\) où \(k\) est un nombre réel.