Exercice
On considère les intégrales \(A=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}4}\cos ^2t \, \mathrm{d}t\), \(B=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin^{2}t\, \mathrm{d}t\) et \(C=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos 2t\,\mathrm{d}t\).
Question
Calculer \(A + B\).
Exprimer \(C\) en fonction de \(A\) et \(B\).
Vérifier que \(C = 0,5\). En déduire les valeurs de \(A\) et \(B\).
Solution détaillée
\(A+B=\displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\cos^{2}t\, \mathrm{d}t+\displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\sin^{2}t\, \mathrm{d}t=\displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\left(\cos^{2}t+\sin^{2}t\right)\,\mathrm{d}t\)
Or \(\cos^2t+\sin^{2}t=1\) donc \(A+B=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\mathrm{d}t=\frac{\pi}{4}\).
De plus,
\(A-B=\displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\cos^{2}t\,\mathrm{d}t-\displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\sin^{2}t\,\mathrm{d}t= \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\left(\cos^{2}t-\sin^{2}t\right)\,\mathrm{d}t\)
Donc \(A-B=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos 2t\,\mathrm{d}t=C\) par conséquent \(C = A - B\).
On vérifie la valeur de \(C\) : \(C=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos 2t\,\mathrm{d}t = \left [\dfrac 12 \sin 2t\right]_0^{\frac \pi 4} = \frac12\).
Comme \(C = 0,5\), \(A\) et \(B\) sont solutions du système \(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}A+B&=&\dfrac\pi4\\ A-B&=&\dfrac12\end{array}\right.\)
On obtient \(A=\displaystyle \frac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{\pi}{8}\) et \(B=\displaystyle \frac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}\).