Exercices sur le calcul intégral

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x) = 2x^2\) , il s'agit d'une fonction continue sur \(\mathbb R\) ; elle admet donc une primitive \(F\) définie par \( F(x) = 2\dfrac{x^3}{ 3}.\)

Donc\( \displaystyle \int_{-2}^{0}\left(2x^{2}\right)\mathrm{d}x = \dfrac 2 3 \Big[ x^3 \Big]_{-2}^0 = -\dfrac 23 \times (-8) = \dfrac{16}{3}\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\rm R\) par : \(f(x) = 2x^3 - x + 1\).

Comme \(f\) est continue sur \(\mathbb R\), elle y admet des primitives. L'une d'entre elles est la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb R\) par \(F\left(x\right)=2\left(\displaystyle \frac{x^{3+1}}{3+1}\right)-\dfrac{x^{2}}{2}+x=\dfrac{x^{4}}{2}-\dfrac{x^{2}}{2}+x\).

\(\displaystyle \int_{-2}^{0}\left(2x^{3}-x+1\right)\mathrm{d}x=\Big[F\left(x\right)\Big]_{-2}^{0}=F\left(0\right)-F\left(-2\right)\)

\(\displaystyle \int_{-2}^{0}\left(2x^{3}-x+1\right)\mathrm{d}x=-4\).