Étude de fonctions
Méthode : Pour mener à bien une étude de fonction
Soit \(f\) une fonction numérique à variable réelle. Pour en faire l'étude :
On détermine son domaine de définition, on vérifie la continuité de la fonction sur cet ensemble.
On étudie les limites aux bornes du domaine et on repère d'éventuelles asymptotes.
Pour les asymptotes parallèles à l'axe de abscisses : il s'agit des cas où la limite de la fonction en \(\pm \infty\) vaut \(l \in \mathbb R.\)
Pour les asymptotes d'équation \(x = x_0\) parallèles à l'axe de ordonnées : il s'agit des cas où la limite de la fonction en \(x_0^+\) ou \( x_0^-\) vaut \(\pm \infty.\)
Pour les asymptotes obliques d'équation \(y = ax +b\) il s'agit des cas où la limite de la fonction en \(\pm \infty\) vaut \(\pm \infty.\) Et si \(a\) et \(b\) existent (ce qui n'est pas toujours le cas) on peut les calculer par \(a = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} { \dfrac{f(x)}{x} }\) et \( b =\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} { f(x)-ax }.\)
On étudie la dérivabilité. On repère les points où la fonction n'est pas dérivable et on étudie ces points.
Pour les points ou la fonction est dérivable : on cherche les valeurs \(x_0\) telle que \(f'(x_0) = 0\). Ce seront les points à tangente horizontale
Pour ces valeurs \(x_0\) : si la fonction dérivée change de signe alors ce point correspond à un extremum local :
si la dérivée est négative avant ce point (f décroissante) puis positive après (f croissante) alors il s'agit d'un minimum local.
si la dérivée est positive avant ce point (f croissante) puis négative après (f décroissante) alors il s'agit d'un maximum local.
On regroupe toutes les informations dans un tableau : le tableau de variations de la fonction avec les limites et les points remarquables.
On détermine des équations de tangentes en des points stratégiques.
On trace la courbe représentative de la fonction.