Utilisation de la dérivée pour le calcul des limites
Méthode : Reconnaître un taux d'accroissement
Si l'on a une limite à calculer de la forme \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} {\dfrac { f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\) et qu'on ait affaire à une forme intéterminée, une méthode consiste à utiliser la dérivée de la fonction \( f\) si celle-ci est connue, pusque cette limite vaut \(f'(x_0)\).
Exemple :
Soit par exemple à calculer \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} {\dfrac{1-\sqrt{x+1}}{x}}.\)
On a ici \(1-\sqrt{x+1}\) qui tend vers \(0\) et \(x\) qui tend vers \(0\) et donc affaire à une forme indéterminée. Mais si on pose \(f(x) = \sqrt{x+1} \) ; \(f(0) = 1\) et \(\dfrac{1-\sqrt{x+1}}{x} =\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\)
Et donc \( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} {\dfrac{1-\sqrt{x+1}}{x}} = f'(0)\) avec\( f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\) et donc \(f'(0) = \dfrac 12\). Finalement
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} {\dfrac{1-\sqrt{x+1}}{x}} = \dfrac 12.\)