Règles de dérivation
Fondamental : Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) telles que la fonction \(v\) ne s'annule pas sur \(I\) et soit \(k\in \mathbb R\), alors les fonctions \(u+v\), \(u\times v\), \(k\times u\), \(\dfrac 1{u}\), \(\dfrac{u}{v}\) sont dérivables sur \(I\) et l'on a :
\(\left(u+v\right)'=u'+v'\)
\(\left(u\times v\right)'=u'\times v+v'\times u\)
\(\left(k\times u\right)'=k\times u'\)
\(\left(\displaystyle \dfrac{1}{u}\right)'=\dfrac{-u'}{u^{2}}\)
\(\left(\displaystyle \dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\times v-v'\times u}{v^{2}}\)
Proposition : Dérivée d'une composée
Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et \(v\) une fonction dérivable sur un intervalle \(J\) tel que pour tout \(x\in{I}\), \(u\left(x\right)\in J\),
alors \(v\circ u\) est dérivable sur \(I\) et \(\left(v\circ u\right)'=u'\times\left(v'\circ u\right)\)
Exemple : Cas particuliers
Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
Soit \(n\) un entier, \(n\geqslant 2\),
\(u^{n}\) est dérivable sur \(I\) et : \(\left(u^{n}\right)'=nu'u^{n-1}\).
En particulier pour \(n=2\) : \(\left(u^{2}\right)'=2u'u\).
Soit \(n\) un entier, \(n<0\),
\(x \mapsto u^{n}(x) \) est dérivable sur tout intervalle \(J\) contenu dans \(I\) et dans lequel \(u\) ne s'annule pas et : \(\left(u^{n}\right)'=nu'u^{n-1}\).
\(x \mapsto \sqrt{u(x)}\) est dérivable sur tout intervalle \(J\) contenu dans \(I\) et dans lequel \(u\) est strictement positive et \(\left(\displaystyle \sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\).
\(x\mapsto \sin u(x) \), \(x\mapsto \cos u(x)\) sont dérivables sur \(I\) et pour tout \(x \in I\), \(\left(\sin \circ u\right)' (x) =u'(x)\times \cos(u(x))\), \(\left(\cos\circ u\right)'(x) =-u' (x) \times \sin(v(x))\).
Exemple :
Justifions que la fonction \(x\mapsto f\left(x\right)=\sqrt{{x^{2}+1}}\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et calculons sa dérivée.
La fonction \(u\) définie sur \(\mathbb R\) par \(u\left(x\right)=x^{2}+1\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et on a \(u'\left(x\right)=2x\).
La fonction \(v\) définie sur\( ]0;+\infty[\) par \(v\left(x\right)=\sqrt{x}\) est dérivable sur \(J = ]0;+\infty[\) et on a \(v'\left(x\right)=\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
De plus, pour tout nombre réel \(x\) on a \(u\left(x\right)\geqslant 1\), donc \(u\left(x\right)\in \mathrm{J}\).
On en déduit que la fonction \(f=v\circ u\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et sa dérivée est donnée par \(f'=\left(v\circ u\right)'=u'\times\left(v'\circ u\right)\),
c'est-à-dire que pour tout réel \(x\), \(f'\left(x\right)=\left(v\displaystyle \circ u\right)'\left(x\right)=u'\left(x\right)\times\left(v'\circ u\right)\left(x\right)=\left(2x\right)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\)
donc \(f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{x}{2\sqrt{x^{2}+1}}\) pour tout \(x\) appartenant à \(\mathbb R\).