Règles opératoires
Méthode : Limite en +∞ ou -∞ d'une fonction polynôme
La limite en \(+\infty\) ou \(-\infty\) d'une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré :
Si \(n\in \mathbf{N}\) et \(a_{n}\neq 0\),
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}=\lim_{x\rightarrow+\infty}a_{n}x^{n}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}=\lim_{x\rightarrow-\infty}a_{n}x^{n}\)
Exemple :
La limite de \(x^2-x+1\) en l'infini est la même que \(x^2\) . Et donc \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty} {x^2-x+1} = \lim_{x \rightarrow + \infty} {x^2} = +\infty.\)
Méthode : Limite en +∞ ou -∞ d'une fonction rationnelle
La limite en \(+\infty\) ou \(-\infty\) d'une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur :
Si \(n\in \mathbf{N}\) ; \(a_{n}\neq 0\) et \(b_{m}\neq 0\),
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty }\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}}{b_m x ^m + b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+ b_1x + b_0}= \lim_{x \to +\infty } \frac{a_nx^n}{b_mx^m}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0}}= \displaystyle \lim_{x \to - \infty} = \frac{a_nx^n}{b_mx^m}\)
Exemple :
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty} {\frac{x^3-x^2+56}{2x^3-1} }= \lim_{x\rightarrow + \infty} {\frac{x^3}{2x^3} } = \frac 12\)
Méthode : Pour répondre aux problèmes des formes indéterminées (FI) : Factoriser le terme de plus haut degré
Cette méthode s'emploie notamment lorsque l'on rencontre une forme fractionnaire avec un numérateur et un dénominateur qui tendent tous les deux vers l'infini ou encore dans une somme avec un terme qui tend vers \(+\infty\) et l'autre vers \(-\infty\). Elle consiste à mettre le terme de plus haut degré en facteur et généralise la méthode dédiée aux polynômes et aux fractions rationnelles à l'infini.
Dans le cas d'une fraction, on simplifie au maximum.
l'indétermination devrait avoir disparue et il est possible de calculer la limite à l'aide des règles de calcul usuelles.
Exemple :
Soit à déterminer la limite de \(\dfrac{x^3+x}{\sqrt{x}-1} \) quand \(x\) tend vers \(+\infty.\)
On a affaire à une forme indéterminée puisque \(x^3\) tend vers \(+\infty\) pendant que \(\sqrt{x}- 1\) tend vers \(+ \infty\). On écrit \(\dfrac {x^3+x}{\sqrt{x}-1} =\dfrac{x^3\left(1+ \dfrac{1}{x^2}\right) }{\sqrt{x}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)} =x^2 \sqrt{x}\dfrac{ 1+ \dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\)
\(x^2\sqrt x\) tend vers \(+\infty\) et \(1+ \dfrac{1}{x^2}\) tend vers \(1\) et \(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) tend vers \(1\). Et finalement \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} {\dfrac{x^3+x}{\sqrt{x}-1}}= + \infty.\)
Méthode : Pour répondre aux problèmes des formes indéterminées (FI) en une valeur finie
On peut faire comme présenter ici dans le cas on l'on cherche la limite d'une fraction et lorsque le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers zéro lorsque \(x\) tend vers \(a\). La méthode consiste à essayer de mettre \((x-a)\) en facteur au numérateur et au dénominateur.
Exemple :
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x+1}\). On cherche à déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(1\). Le numérateur et le dénominateur s'annule. On a affaire à une forme indéterminée. On factorise \(f(x)\) par \(x-1\) au numérateur et on dénominateur.
On a, pour \(x \neq -1\, ; \,f(x) = \dfrac{x^2-1}{x+1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)} = x-1\). Et donc \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} {\dfrac{x^2-1}{x+1}}= -2.\)
Méthode : Pour répondre aux problèmes des formes indéterminées : utiliser la partie conjuguée
Cette méthode s'emploie lorsque l'on a affaire une forme indéterminée avec une différence dont les deux termes tendent vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) et dans une expression comportant des racines carrées (du type \(\sqrt{ A(x) }-\sqrt {B (x)}\). La méthode consiste à multiplier et à diviser par la partie conjuguée du type \(\sqrt{ A(x) }+\sqrt {B (x)}\))
Exemple :
Soit \(f(x) = \dfrac{\sqrt x -2}{x-4}\). On cherche à déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers 4. Le numérateur et le dénominateur s'annulent. On a affaire à une forme indéterminée. On multiplie \(f(x)\) par \(\dfrac{\sqrt x+2}{\sqrt x +2} \).
On a, pour \(x \neq 4\, ; \,f(x) = \dfrac{\sqrt x -2}{x-4}= \dfrac{(\sqrt x-2)(\sqrt x +2)}{(x-4)(\sqrt x +2)} = \dfrac{x-4}{(x-4)(\sqrt x +2)} = \dfrac{1}{\sqrt x +2}\). et donc \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} {f(x)}= \dfrac 14.\)