Limites et ordre
Proposition : Comparaison et limites
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions ayant respectivement pour limites les nombres réels \(\ell\) et \(\ell'\) (en \(a\), en \(+\infty\) ou en \(-\infty\)).
Si \(f\) est supérieure à \(g\) (au voisinage de \(a\) si l'étude est en \(a\), ou sur intervalle de la forme \(]\alpha\, ; \, +\infty[\), si l'étude est en \(+ \infty\) ou sur un intervalle de la forme \(]-\infty\, ; \, \alpha[\) si l'étude est en \(-\infty\)) alors \(\ell\) est supérieure à \(\ell'\).
Exemple :
Une fonction à valeurs positives a nécessairement des limites positives.
Dans la suite, lorsqu'on compare deux fonctions, c'est localement c'est-à-dire que si il s'agit de résultats sur des limite en \(a\), la comparaison se fait sur un intervalle contenant \(a\) et si il s'agit de résultats sur des limite en \( +\infty\) ou en \(-\infty\) , la comparaison se fait sur un intervalle de la forme \([\alpha\, ; \, + \infty[\) respectivement \(]-\infty\, ; \, \alpha]\).
Proposition : Comparaison de fonctions et limites à l'infini
Si une fonction \(f\) est supérieure ou égale à une fonction \(g\) ayant pour limite \(+\infty\) (en \(a\), en \(+\infty\) ou en \(-\infty\)), alors \(f\) a pour limite \(+\infty\) (en \(a\), en \(+\infty\) ou en \(-\infty\)).
Si une fonction \(f\) est inférieure ou égale à une fonction \(g\) ayant pour limite \(-\infty\) (en \(a\), en \(+\infty\) ou en \(-\infty\)), alors \(f\) a pour limite \(-\infty\) (en \(a\), en \(+\infty\) ou en \(-\infty\)).
Théorème : Théorème des « gendarmes »
Si une fonction \(f\) est encadrée par deux fonctions ayant le même nombre réel \(\ell\) pour limite (en \(a\), en \(+\infty\) ou en \(-\infty\)), alors \(f\) a pour limite \(\ell\) (en \(a\), en \(+\infty\) ou en \(-\infty\)).
Exemple :
Si on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R^*\) par :\( x \mapsto \dfrac{ \sin{x}} x\) . Comme, pour tout nombre réel \(x\), non nul, \(sin(x)\) est compris entre \(-1\) et \(1\) on peut encadrer \(f(x)\) par \( -\dfrac 1 x\) et \(\dfrac 1 x\) qui tendent vers \(0\) en \(+\infty\). Et donc la limite de \(f\) en \(+\infty\) est \(0\).