S'exercer sur les fractions

Pour comparer les nombres \(\frac{a + c}{ b + d}\) et \(\frac{a}{b}\), effectuons leur différence.

On a

\[\cfrac{a + c}{ b + d} - \cfrac{a}{b} = \cfrac {(a + c)b-a (b+d)}{ (b + d)b} = \cfrac {bc - ad}{(b+d)b}.\]

Or

\[\cfrac{a}{b} < \cfrac{c}{d}\]

soit

\[\cfrac{ad - bc}{bd} < 0.\]

Autrement dit \(ad − bc\) et \( db\) sont de signes contraires et donc \( −ad + bc\) est du signe de \(db\) et par conséquent,

\[\cfrac{a + c}{ b + d} - \cfrac{a}{b}\textrm{ est du signe de }\cfrac {db}{(b+d)b}\textrm{ ou encore de }\cfrac {d}{(b+d)}.\]

On a donc les quatre cas suivants :

— Si \( d > 0\) et \( b < −d\) alors \(\cfrac {d}{(b+d)} < 0 \) et donc \(\cfrac{a + c}{ b + d} < \cfrac{a}{b}\).

— Si \(d > 0\) et \(b > −d\) alors \(\cfrac {d}{(b+d)} > 0\) et donc\(\cfrac{a + c}{ b + d} > \cfrac{a}{b}\).

— Si \(d < 0\) et \(b < −d\) alors \(\cfrac {d}{(b+d)} > 0\) et donc \(\cfrac{a + c}{ b + d} > \cfrac{a}{b}\).

— Si \(d < 0\) et \( b > −d\) alors \(\cfrac {d}{(b+d)} < 0\) et donc \(\cfrac{a + c}{ b + d} < \cfrac{a}{b}\).