Exercice 2 [S'exercer sur les fractions]

Exercice 2

Partie : 1. Fractions égales : repérer les fractions égales dans la liste suivante.

Question

\begin{array}{ccccccccc} \cfrac {6}{14} ; & \cfrac {10}{19} ; & \cfrac {15}{27} ; & \cfrac {36}{20} ; & \cfrac {3}{7} ; & \cfrac {144}{80} ; & \cfrac {5}{9} ; & \cfrac {39}{91} ; & \cfrac {12}{28} \end{array}

Solution

\begin{array}{cccccc} \cfrac {15}{27}= \cfrac {5}{9}; & \cfrac {36}{20}=\cfrac {144}{80} ; & \cfrac {6}{14}= \cfrac {3}{7}= \cfrac {12}{28}=\cfrac {39}{91}. \end{array}

Partie : 2. Classer des fractions : relier par l'un des symboles « < », « > » ou « = » les fractions suivantes pour les comparer.

Question

\(\cfrac {5}{6}... \cfrac {7}{9}\)

Solution

a.

\(\cfrac {5}{6} > \cfrac {7}{9}\)

Question

\(\cfrac {22}{9}... \cfrac {30}{8}\)

Solution

b.

\(\cfrac {22}{9} < \cfrac {30}{8}\)

Question

\(\cfrac {12}{15}... \cfrac {4}{5}\)

Solution

c.

\(\cfrac {12}{15} = \cfrac {4}{5}\)

Question

\(\cfrac {48}{72}... \cfrac {4}{7}\)

Solution

d.

\(\cfrac {48}{72} > \cfrac {4}{7}\)

Partie : 3. Classer des fractions : relier par l'un des symboles « < », « > » ou « = » les fractions suivantes pour les comparer.

Question

\(\cfrac {-6}{5}... \cfrac {9}{-7}\)

Solution

a.

\(\cfrac {-6}{5} > \cfrac {9}{-7}\)

Question

\(\cfrac {-21}{7}... \cfrac {-30}{10}\)

Solution

b.

\(\cfrac {-21}{7} = \cfrac {-30}{10}\)

Question

\(\cfrac {-12}{5}... \cfrac {-12}{3}\)

Solution

c.

\(\cfrac {-12}{5} > \cfrac {-12}{3}\)

Question

\(\cfrac {-49}{70}... \cfrac {-4}{7}\)

Solution

d.

\(\cfrac {-49}{70} < \cfrac {-4}{7}\)

Partie : 4.

Question

Soit \( a, b, c, d\) des nombres réels avec \( b \ne 0, d \ne 0\) et \(b + d \ne 0\), tels que \( \frac {a}{b}< \frac {c}{d}\). Comparer, en discutant le signe de \(b\) et \(d\), les nombres \(\frac {a+c}{b+d}\) et \(\frac {a}{b}\).

Solution

Pour comparer les nombres \(\frac{a + c}{ b + d}\) et \(\frac{a}{b}\), effectuons leur différence.

On a

\[\cfrac{a + c}{ b + d} - \cfrac{a}{b} = \cfrac {(a + c)b-a (b+d)}{ (b + d)b} = \cfrac {bc - ad}{(b+d)b}.\]

\[\cfrac{a}{b} < \cfrac{c}{d}\]

soit

\[\cfrac{ad - bc}{bd} < 0.\]

Autrement dit \(ad − bc\) et \( db\) sont de signes contraires et donc \( −ad + bc\) est du signe de \(db\) et par conséquent,

\[\cfrac{a + c}{ b + d} - \cfrac{a}{b}\textrm{ est du signe de }\cfrac {db}{(b+d)b}\textrm{ ou encore de }\cfrac {d}{(b+d)}.\]

On a donc les quatre cas suivants :

— Si \( d > 0\) et \( b < −d\) alors \(\cfrac {d}{(b+d)} < 0 \) et donc \(\cfrac{a + c}{ b + d} < \cfrac{a}{b}\).

— Si \(d > 0\) et \(b > −d\) alors \(\cfrac {d}{(b+d)} > 0\) et donc\(\cfrac{a + c}{ b + d} > \cfrac{a}{b}\).

— Si \(d < 0\) et \(b < −d\) alors \(\cfrac {d}{(b+d)} > 0\) et donc \(\cfrac{a + c}{ b + d} > \cfrac{a}{b}\).

— Si \(d < 0\) et \( b > −d\) alors \(\cfrac {d}{(b+d)} < 0\) et donc \(\cfrac{a + c}{ b + d} < \cfrac{a}{b}\).